삼각함수의 변환&사인법칙_난이도 중 (2022년 6월 전국연합 고2 19번)

그림과 같이 중심이 $\rm O$, 반지름의 길이가 $1$ 이고 중심각의 크기가 $\theta$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 가 있다. 호 $\rm AB$ 의 삼등분점 중 점 $\rm A$ 에 가까운 점을 $\rm C$ 라 하고, 직선 $\rm OA$ 와 직선 $\rm BC$ 가 만나는 점을 $\rm D$ 라 하자. 다음은 두 선분 $\rm AD, \; CD$ 와 호 $\rm AC$ 로 둘러싸인 부분의 넓이 $S(\theta)$ 를 구하는 과정이다. (단, $0<\theta <\dfrac{3}{4}\pi$)

 

점 $\rm C$ 가 호 $\rm AB$ 의 삼등분점 중 점 $\rm A$ 에 가까운 점이므로 $\rm \angle BOC = \boxed{ (가) }$ 이다. 또한, 삼각형 $\rm BOC$ 에서 $\angle \rm OBC = \angle \rm OCB = \dfrac{1}{2} \left ( \pi - \boxed{ (가) } \right )$ 이다. 한편, 삼각형 $\rm BOD$ 에서 사인법칙에 의하여 $\overline{\rm OD} = \dfrac{\cos \dfrac{\theta}{3}}{\boxed{ (나) }}$ 이다. $S(\theta)$ 는 삼각형 $\rm COD$ 의 넓이에서 부채꼴 $\rm OAC$ 의 넓이를 뺀 값이므로 $S(\theta) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\cos \dfrac{\theta}{3}}{\boxed { (나) }} \times \sin \dfrac{\theta}{3} - \boxed{ (다) }$ 이다.

 

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(\theta), \; g(\theta), \; h(\theta)$ 라 할 때, $\dfrac{f \left (\dfrac{\pi}{2} \right ) \times g \left ( \dfrac{\pi}{4} \right )}{h\left (\dfrac{\pi}{8} \right )}$ 의 값은?

 

① $8\sqrt{3}$          ② $\dfrac{17\sqrt{3}}{2}$          ③ $9\sqrt{3}$          ④ $\dfrac{19\sqrt{3}}{2}$          ⑤ $10\sqrt{3}$

 

정답 ①