두 함수 곱의 연속_난이도 중상 (2020년 11월 전국연합 고2 29번)

$5$ 이하의 두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 를 $$\begin{aligned} f(x) &= x^2 -2ax+a^2-a+1 \\[10pt] g(x) &= \begin{cases} x+b & (1<x<3) \\ 7-b & (x \le 1 \; 또는 \; x \ge 3) \end{cases} \end{aligned}$$ 이라 하자. 함수 $f(x)g(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 순서쌍 $(a, \; b)$ 의 개수를 구하시오.

 

정답 $7$