벡터 종점의 자취&내적의 기하학적 의미_난이도 상 (2019년 6월 평가원 고3 가형 29번)

좌표평면에서 곡선 $C\;:\; y=\sqrt{8-x^2}\;\; \left (2 \le x\le 2\sqrt{2} \right )$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\overline{\rm OQ}=2$ , $\angle {\rm POQ}= \dfrac{\pi}{4}$ 를 만족시키고 직선 $\rm OP$ 의 아랫부분에 있는 점을 $\rm Q$ 라 하자.

점 $\rm P$ 가 곡선 $C$ 위를 움직일 때, 선분 $\rm OP$ 위를 움직이는 점 $\rm X$ 와 선분 $\rm OQ$ 위를 움직이는 점 $\rm Y$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm OZ}= \overrightarrow{\rm OP} + \overrightarrow{\rm OX}+ \overrightarrow{\rm OY}$ 를 만족시키는 점 $\rm Z$ 가 나타내는 영역을 $D$ 라 하자. 

영역 $D$ 에 속하는 점 중에서 $y$ 축과의 거리가 최소인 점을 $\rm R$ 라 할 때, 영역 $D$ 에 속하는 점 $Z$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm OR} \cdot \overrightarrow{\rm OZ}$ 의 최댓값과 최솟값의 합이 $a+b\sqrt{2}$ 이다. $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이고, $a$ 와 $b$ 는 유리수이다.)

정답 $24$