벡터 내적의 기하학적 의미_난이도 상 (2021년 6월 평가원 고3 기하 30번)

좌표평면 위에 네 점 ${\rm A}(2, \; 0), \; {\rm B}(0, \; 2), \; {\rm C}(-2, \; 0), \; {\rm D}(0, \; -2)$ 를 꼭짓점으로 하는 정사각형 $\rm ABCD$ 의 네 변 위의 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $\left ( \overrightarrow{\rm PQ} \cdot \overrightarrow{\rm AB} \right ) \left ( \overrightarrow{\rm PQ} \cdot \overrightarrow{\rm AD} \right ) = 0$

(나) $\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OP} \ge -2$ 이고 $\overrightarrow{\rm OB} \cdot \overrightarrow{\rm OP} \ge 0$ 이다.

(다) $\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OQ} \ge -2$ 이고 $\overrightarrow{\rm OB} \cdot \overrightarrow{\rm OQ} \le 0$ 이다.

 

점 ${\rm R}(4, \; 4)$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm RP} \cdot \overrightarrow{\rm RQ}$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M+m$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.)

 

정답 $48$