(이과) 정적분으로 정의됨 함수&부등식과 미분_난이도 상 (2018년 7월 교육청 가형 30번)

$ab<0$ 인 상수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 는 $f(x)=(ax+b)e^{-\frac{x}{2}}$ 이고 함수 $g(x)$ 는 $g(x) = \displaystyle \int_0^x f(t)\; dt$ 이다. 실수 $k\; (k>0)$ 에 대하여 부등식 $$g(x)-k \ge xf(x)$$ 를 만족시키는 양의 실수 $x$ 가 존재할 때, 이 $x$ 의 값 중 최솟값을 $h(k)$ 라 하자. 함수 $g(x)$ 와 $h(k)$ 는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $g(x)$ 는 극댓값 $\alpha$ 를 갖고 $h(\alpha)=2$ 이다.

(나) $h(k)$ 의 값이 존재하는 $k$ 의 최댓값은 $8e^{-2}$ 이다.

$100 \left (a^2 + b^2 \right )$ 의 값을 구하시오. $\left ( 단, \; \lim \limits_{x \to \infty} f(x)=0 \right )$

정답 $125$