미적분1_삼차함수의 그래프&접선의 방정식_난이도 중 (2017년 11월 수능 나형 29번)

 두 실수 $a$ 와 $k$ 에 대하여 두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 는 $\begin{array}{ll} f(x)= \left \{ \begin{array}{ll} 0 & (x \le a) \\ (x-1)^2(2x+1) & (x>a) \end{array}, \right . \\[12pt] g(x) = \left \{ \begin{array}{ll} 0 & (x \le k) \\ 12(x-k) & (x>k) \end{array}  \right . \end{array}$ 이고, 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
(나) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x) \ge g(x)$ 이다.

$k$ 의 최솟값이 $\dfrac{q}{p}$ 일 때, $a+p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

정답 $32$