삼각함수의 극한_난이도 상 (2016년 4월 교육청 가형 29번)

그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $\rm AB$ 위의 한 점 $\rm P$ 에 대하여 $\angle {\rm PAB}=\theta$ 라 하자. 선분 $\rm PB$ 의 중점 $\rm M$ 에서 선분 $\rm PB$ 에 접하고 호 $\rm PB$ 에 접하는 원의 넓이를 $S(\theta)$, 선분 $\rm AP$ 위에 $\rm \overline{AQ}=\overline{BQ}$ 가 되도록 하는 점 $\rm Q$ 를 잡고 삼각형 $\rm ABQ$ 에 내접하는 원의 넓이를 $T(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{\theta ^2 \times T(\theta)}{S(\theta)}$ 의 값을 구하시오. (단, $0 < \theta < \dfrac{\pi}{4}$ )

정답 $4$