기학와 벡터_공간도형 및 공간좌표_이면각의 크기_난이도 중

그림과 같이 한 모서리의 길이가 $4$ 인 정사면체 $\rm ABCD$ 의 한 면인 삼각형 $\rm ABC$ 의 무게중심 $\rm G$ 에 접하면서 정사면체 $\rm ABCD$ 의 한 면 $\rm BCD$ 를 포함하는 평면 $\alpha$ 에 접하는 구가 있다. 구의 중심 $\rm P$ 와 무게중심 $\rm G$ 를 지나고 직선 $\rm CD$ 에 평행한 평면을 $\beta$ 라 할 때, 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 가 이루는 예각의 크기 $\theta$ 에 대하여 $\cos ^2 \theta=\dfrac{q}{p}$ 이다. 이때, 서로소인 두 자연수 $p, \; q$ 의 합 $p+q$ 의 값을 구하시오.

 

 

정답 17