수학1_수학적귀납법_난이도 상

다음은 \( n \geq 2 \) 인 모든 자연수 \( n \) 에 대하여

    \( \left( 1 + \dfrac{1}{1^3} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{2^3} \right) \left ( 1 + \dfrac{1}{3^3} \right) \cdots \left( 1 + \dfrac{1}{n^3} \right) < 3 - \dfrac{1}{n} \;\ \cdots \; \) ㉠

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다.

(i) \( n=2 \) 일 때

    \( (좌변) = \left( 1 + \dfrac{1}{1^3} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{2^3} \right) = \dfrac{9}{4} , \; (우변) = 3 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2} \)

    이므로 ㉠이 성립한다.

 

(ii) \( n = k \; (k \geq 2 ) \) 일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면

    \( \left( 1 + \dfrac{1}{1^3} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{2^3} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{3^3} \right) \cdots \left( 1 + \dfrac{1}{k^3} \right) < 3 - \dfrac{1}{k} \cdots \) ㉡

    ㉡의 양변에 \( (가) \) 를 곱하면

    \( \left( 1 + \dfrac{1}{1^3} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{2^3} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{3^3} \right) \cdots \left( 1 + \dfrac{1}{k^3} \right) \left( (가) \right)\)

        \( < \left ( 3 - \dfrac{1}{k} \right) \left( (가) \right) \cdots \) ㉢

    ㉢의 우변을 정리하면

    \( (우변) = 3 - \dfrac{ (나) } { k ( k+1 )^3 } \)

    이 때, \( \dfrac{ (나) }{k(k+1)^3} - \dfrac{1}{k+1} (다) 0 \)

    따라서 \( n=k+1 \) 일 때도 ㉠이 성립한다.

 

그러므로 (i), (ii)에 의하여 \( n \geq 2 \) 인 모든 자연수 \( n \) 에 대하여 주어진 부등식은 성립한다.

 

위의 증명 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

 

 

	\( (가) \)	\( (나) \)	\( (다) \)
①	\( 1 + \dfrac{1}{(k+1)^3} \)	\( k^3 + 3k^2 + 2 \)	\( < \)
②	\( 1 + \dfrac{1}{(k+1)^3} \)	\( k^3 + 3k^2 + 2 \)	\( > \)
③	\( 1 + \dfrac{1}{(k+1)^3} \)	\( k^3 - 3k^2 + 2 \)	\( < \)
④	\( \dfrac{1}{(k+1)^3} \)	\( k^3 - 3k^2 + 2 \)	\( > \)
⑤	\( \dfrac{1}{(k+1)^3} \)	\( k^3 - 3k^2 + 2 \)	\( < \)

 

 

 

정답 ②