수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 상

좌표평면에 원 ${\rm C}_1 \;:\;(x-4)^2 +y^2 =1$ 이 있다. 그림과 같이 원점에서 원 $\rm C_1$ 에 기울기가 양수인 접선 $l$ 을 그었을 때 생기는 접점을 $\rm P_1$ 이라 하자. 중심이 직선 $l$ 위에 있고 점 $\rm P_1$ 을 지나며 $x$ 축에 접하는 원을 $\rm C_2$ 라 하고 이 원과 $x$ 축의 접점을 $\rm P_2$ 라 하자. 중심이 $x$ 축 위에 있고 점 $\rm P_2$ 를 지나며 직선 $l$ 에 접하는 원을 $\rm C_3$ 이라 하고 이 원과 직선 $l$ 의 접점을 $\rm P_3$ 이라 하자. 중심이 직선 $l$ 위에 있고 점 $\rm P_3$ 을 지나며 $x$ 축에 접하는 원을 $\rm C_4$ 라 하고 이 원과 $x$ 축의 접점을 $\rm P_4$ 라 하자.
이와 같은 과정을 계속할 때, 원 $\rm C_{\it n}$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n$ 의 값은?
(단, 원 $\rm C_{{\it n}+1}$ 의 반지름의 길이는 원 $\rm C_{\it n}$ 의 반지름의 길이보다 작다.)  

 

① $\dfrac{3}{2}\pi$          ② $2\pi$           ③ $\dfrac{5}{2}\pi$          ④ $3\pi$          ⑤ $\dfrac{7}{2}\pi$

정답 ③