수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 상

그림과 같이 $\overline{\rm AB}=2$ 를 지름으로 하는 반원 $D_1$ 을 그리고, $\angle \rm BAB_1 = \dfrac{\pi}{6}$ 가 되도록 반원 $D_1$ 위의 점 $\rm B_1$ 을 잡는다. $\overline{\rm AB_1}$ 을 지름으로 하는 반원 $D_2$ 를 그렸을 때, 반원 $D_2$ 에서 반원 $D_1$ 과의 공통부분을 뺀 나머지 도형의 넓이를 $S_1$ 이라 하자. $\angle \rm B_1 A B_2 = \dfrac{\pi}{6}$ 가 되도록 반원 $D_2$ 위의 점 $\rm B_2$ 를 잡아 $\overline {\rm AB_2}$ 를 지름으로 하는 반원 $D_3$ 를 그리고, $\angle \rm B_2 AB_3 = \dfrac{\pi}{6}$ 가 되도록 반원 $D_3$ 위의 점 $\rm B_3$ 를 잡는다. 반원 $D_3$ 와의 공통부분을 뺀 나머지 도형의 넓이를 $S_2$ 라 하자. 이와 같은 과정을 계속해서 $n$ 번째 얻은 도형의 넓이를 $S_n$ 이라 하면, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n = \dfrac{b}{a} \left ( \dfrac{\pi}{6} + \sqrt{3} \right )$ 이다. 이때, $a+b$ 의 값은? (단, $a,\;b$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

 ① $7$          ② $8$          ③ $9$          ④ $10$          ⑤ $11$

정답 ⑤