수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 중

그림과 같이 크기가 $60^o$ 인 $\angle \rm AOB$ 의 이등분선 위에 $\overline{\rm OC_1} =2$ 인 점 $\rm C_1$ 을 잡아 점 $\rm C_1$ 을 중심으로 하고 반직선 $\rm OA$ 와 $\rm OB$ 에 접하는 원 $\rm C_1$ 을 그릴 때, 원 $\rm C_1$ 과 반직선 $\rm OA,\;OB$ 와의 접점을 각각 $\rm P_1 ,\; Q_1$ 이라 하자. 점 $\rm C_1$ 을 지나고 반직선 $\rm OA$ 와 $\rm OB$ 에 접하는 두 원 중에서 큰 원의 중심을 $\rm C_2$,  원 $\rm C_2$ 와 반직선 $\rm OA,\;OB$ 와의 접점을 각각 $\rm P_2 ,\; Q_2$ 라 하고, 원 $\rm C_1$ 과 원 $\rm C_2$ 가 만나는 점을 각각 $\rm A_1 ,\; B_1$ 이라 할 때, 사각형 $\rm A_1 C_1 B_1 C_2$ 의 넓이를 $S_1$ 이라 하자. 점 $\rm C_2$ 를 지나고 반직선 $\rm OA$ 와 $\rm OB$ 에 접하는 두 원 중에서 큰 원의 중심을 $\rm C_3$, 원 $\rm C_3$ 과 반직선 $\rm OA,\;OB$ 와의 접점을 각각 $\rm P_3 ,\; Q_3$ 이라 하고, 원 $\rm C_2$ 와 원 $\rm C_3$ 이 만나는 점을 각각 $\rm A_2 ,\; B_2$ 라 할 때, 사각형 $\rm A_2 C_2 B_2 C_3$ 의 넓이를 $S_2$ 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 도형의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{S_n}{4^n +3^n}$ 의 값은?

 

① $\dfrac{1}{4}$          ② $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$          ③ $\dfrac{3}{8}$          ④ $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$           ⑤ $\dfrac{\sqrt{15}}{8}$

정답 ⑤