수학1_수학적 귀납법_난이도 중

\(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 부등식 \(\left ( 1+ {\displaystyle \frac{1}{n}} \right ) ^n >2\) 가 성립함이 알려져 있다.
다음은 이 사실을 이용하여 \(n\) 이 \(6\) 이상의 자연수일 때, 부등식 \(\left ( {\displaystyle \frac{n}{2}} \right ) >n!\) 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (단, \(n!=1\times 2 \times 3 \times \cdots \times n\))

(i) \(n=6\) 일 때
     \(3^6 = 729,\;\; 6!=720\) 이므로 성립한다.
(ii) \(n=k\;\;(k\ge 6)\) 일 때 성립한다고 가정하면
     \(\left ( {\displaystyle \frac{k+1}{2}} \right ) ^{k+1} = {\displaystyle \frac{k+1}{2^{k+1}}} \cdot {\displaystyle \frac{(k+1)^k}{k^k}} \cdot (\;\;)\) 

     \(={\displaystyle \frac{k+1}{2}}\cdot \left (1+{\displaystyle \frac{1}{k}} \right ) ^k \cdot (가) \) \(>{\displaystyle \frac{k+1}{2}} \cdot (나) = (\;\;) \)
이므로 \(n=k+1\) 일 때도 성립한다.
(i), (ii) 에 의하여 주어진 부등식은 \(6\) 이상의 모든 자연수에 대하여 성립한다. 

 
 위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은?

① \(k^k ,\;\; (k+1)!\)                 ② \(k^k ,\;\; 2k!\)                 ③ \(k^k ,\;\; k!\)
④ \(\left ( {\displaystyle \frac{k}{2}} \right ) ^k ,\;\; (k+1)!\)           ⑤ \(\left ( {\displaystyle \frac{k}{2}} \right ) ^k ,\;\; 2k!\) 

정답 ⑤