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목록(9차) 미적분 I 문제풀이/미분 (223)
수악중독
사차함수 \(f(x)=x^4 +ax^3 +bx^2 +cx+6\) 이 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(3)\) 의 값을 구하시오. (가) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(-x)=f(x)\) 이다. (나) 함수 \(f(x)\) 는 극솟값 \(-10\) 을 갖는다. 정답 15 사차함수 그래프의 개형이 5가 밖에 없다는 것을 알고 있다면 다음과 같은 풀이가 가능하다.
원점을 지나는 최고차항의 계수가 \(1\) 인 사차함수 \(y=f(x)\) 가 다음 두 조건을 만족한다. (가) \(f(2+x)=f(2-x)\) (나) \(x=1\) 에서 극솟값을 갖는다. 이 때, \(f(x)\) 의 극댓값을 \(a\) 라 할 때, \(a^2\) 의 값을 구하시오. 정답 64
함수 \(f(x)=\dfrac{1}{3} x^3 -x^2 -3x\) 는 \(x=a\) 에서 극솟값 \(b\) 를 가진다. 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프 위의 점 \((2,\;f(2))\) 에서 접하는 직선을 \(l\) 이라 할 때, 점 \((a,\;b)\) 에서 직선 \(l\) 까지의 거리가 \(d\) 이다. \(90d^2\) 의 갑을 구하시오. 정답 16
사차함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킬 때, \(\dfrac{f'(5)}{f'(3)}\) 의 값을 구하시오. (가) 함수 \(f(x)\) 는 \(x=2\) 에서 극값을 갖는다. (나) 함수 \(\left | f(x)-f(1) \right |\) 은 오직 \(x=a\;\;(a>2)\) 에서만 미분가능하지 않다. 정답 12
그림과 같이 좌표평면 위에 네 점 \(\rm O(0,\;0),\;\;A(8,\;0),\;\; B(8,\;8),\;\;C(0,\;8)\) 을 꼭짓점으로 하는 정사각형 \(\rm OABC\) 와 한 변의 길이가 \(8\) 이고 네 변이 좌표축과 평행한 정사각형 \(\rm PQRS\) 가 있다. 점 \(\rm P\) 가 점 \((-1,\;-6)\) 에서 출발하여 포물선 \(y=-x^2 +5x\) 를 따라 움직이도록 정사각형 \(\rm PQRS\) 를 평행이동시킨다. 평행이동시킨 정사각형과 정사각형 \(\rm OABC\)가 겹치는 부분의 넓이의 최댓값을 \(\dfrac{q}{p}\) 라 할 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 527
\(a>1\) 일 때, 함수 \(f(x)=2x^3 -2(a+1)x^2 +6ax-4a+2\) 에 대하여 방정식 \(f(x)=0\) 의 한 실근을 \(b\) 라 하자. 다음은 두 수 \(a,\;b\) 의 크기를 비교하는 과정이다. \(f'(x)=\;\;(가)\;\;\) 이고 \(a>1\) 이므로 \(f(x)\) 는 \(x=1\) 에서 \((나)\) 을 가진다. 그런데 \(f(1)\] ② \[6(x+a)(x+1)\] 극솟값 \[\] ④ \[6(x-a)(x-1)\] 극댓값 \[\] 정답 ④
다음 조건을 만족시키는 모든 사차함수 \(y=f(x)\) 의 그래프가 항상 지나는 점들의 \(y\) 좌표의 합을 구하시오. (가) \(f(x)\) 의 최고차항의 계수는 \(1\) 이다. (나) 곡선 \(y=f(x)\) 가 점 \((1,\;f(2))\) 에서 직선 \(y=2\) 에 접한다. (다) \(f'(0)=0\) 정답 13
최고차항의 계수가 \(1\) 인 사차함수 \(f(x)\) 에 대하여 함수 \(g(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(-1 \le x < 1\) 일 때, \(g(x)=f(x)\) 이다. (나) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(g(x+2)=g(x)\) 이다. 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(f(-1)=f(1)\) 이고, \(f'(-1)=f'(1)\) 이면, \(g(x)\) 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. ㄴ. \(g(x)\) 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하면, \(f'(0)f'(1)
최고차항의 계수가 \(1\) 이고, \(f(0)=3,\; f'(3)
다음은 '가' 지점에서 출발하여 '나' 지점에 도착할 때까지 직선 경로를 따라 이동한 세 자동차 \(\rm A,\;B,\;C\) 의 시간 \(t\) 에 따른 속도 \(v\) 를 각각 나타낸 그래프이다. '가' 지점에서 출발하여 '나' 지점에 도착할 때까지의 상황에 대한 다음 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(\rm A\) 와 \(\rm C\) 의 평균속도는 같다. ㄴ. \(\rm B\) 와 \(\rm C\) 모두 가속도가 \(0\) 인 순간이 적어도 한 번 존재한다. ㄷ. \(\rm A,\;B,\;C\) 각각의 속도 그래프와 \(t\) 축으로 둘러싸인 영역의 넓이는 모두 같다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤