수악중독

그림과 같이 좌표평면 위에 두 원 $$\begin{aligned} C_1 &: (x-8)^2+(y-2)^2=4, \\ C_2 &: (x-3)^2+(y+4)^2=4\end{aligned}$$ 와 직선 $y=x$ 가 있다. 점 $\mathrm{A}$ 는 원 $C_1$ 위에 있고, 점 $\mathrm{B}$ 는 원 $C_2$ 위에 있다. 점 $\mathrm{P}$ 는 $x$ 축 위에 있고, 점 $\mathrm{Q}$ 는 직선 $y=x$ 위에 있을 때, $\overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{PQ}}+\overline{\mathrm{QB}}$ 의 최솟값은? (단, 세 점 $\mathrm{A, \; P, \; Q}$ 는 서로 다른 점이다.) ① $7$ ② $8$ ③ $9$ ④ ..

그림과 같이 $\angle \mathrm{A} = \angle \mathrm{B}=90^{\mathrm{o}}$, $\overline{\mathrm{AB}}=4, \; \overline{\mathrm{BC}}=8$ 인 사다리꼴 $\mathrm{ABCD}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{AD}$ 를 $2:1$ 로 내분하는 점을 $\mathrm{P}$ 라 하자. 두 직선 $\mathrm{AC, \; BP}$ 가 점 $\mathrm{Q}$ 에서 서로 수직으로 만날 때, 삼각형 $\mathrm{AQD}$ 의 넓이는? ① $\dfrac{6}{5}$ ② $\dfrac{13}{10}$ ③ $\dfrac{7}{5}$ ④ $\dfrac{3}{2}$ ⑤ $\dfrac{8}{5}$ 더보기 정답 ①

세 실수 $a, \; b, \; c$ 에 대하여 삼차방정식 $$P(x)=x^3+ax^2+bx+c$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $x$ 에 대한 삼차방정식 $P(x)=0$ 은 한 실근과 서로 다른 두 허근을 갖고, 서로 다른 두 허근의 곱은 $5$ 이다. (나) $x$ 에 대한 삼차방정식 $P(3x-1)=0$ 은 한 근 $0$ 과 서로 다른 두 허근을 갖고, 서로 다른 두 허근의 합은 $2$ 이다. $a+b+c$ 의 값은? ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ①

그림과 같이 기울기가 $2$ 인 직선 $l$ 이 원 $x^2+y^2=10$ 과 제$2$사분면 위의 점 $\mathrm{A}$, 제$3$사분면 위의 점 $\mathrm{B}$ 에서 만나고 $\overline{\mathrm{AB}}=2\sqrt{5}$ 이다. 직선 $\mathrm{OA}$ 와 원이 만나는 점 중 $\mathrm{A}$ 가 아닌 점을 $\mathrm{C}$ 라 하자. 점 $\mathrm{C}$ 를 지나고 $x$ 축과 평행한 직선이 직선 $l$ 과 만나는 점을 $\mathrm{D}(a, \; b)$ 라 할 때, 두 상수 $a, \; b$ 에 대하여 $a+b$ 의 값은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $-8$ ② $-\dfrac{15}{2}$ ③ $-7$ ④ $-\dfrac{1..

좌표평면 위에 세 점 $\mathrm{A}(0, \; 4), \; \mathrm{B})(4, \; 4), \; \mathrm{C}(4, \; 0)$ 이 있다. 세 선분 $\mathrm{OA, \; AB, \; BC}$ 를 $m:n \; (m>0, \; n>0)$ 으로 내분하는 점을 각각 $\mathrm{P, \; Q, \; R}$ 라 하고, 세 점 $\mathrm{P, \; Q, \; R}$ 를 지나는 원을 $C$ 라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ㄱ. $m=n$ 일 때, 점 $\mathrm{P}$ 의 좌표는 $(0, \; 2)$ 이다. ㄴ. 점 $\left ( \dfrac{4m}{m+n},\; 0 \right )$ 은 원 $C$ 위의 점..

이차함수 $f(x)$ 와 이차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $g(x)$ 에 대하여 $x$ 에 대한 이차방정식 $$\{x-f(k)\}\{x-g(k)\}=0$$ 이 서로 다른 두 실근 $0, \; 4$ 를 갖도록 하는 모든 실수 $k$ 의 개수가 $3$ 이다. $f(2)=4$ 일 때, $g(8)-f(8)$ 의 값은? ① $62$ ② $64$ ③ $66$ ④ $68$ ⑤ $70$ 더보기 정답 ④

다항식 $x^3-3x^2+3x-6$ 을 $x-3$ 으로 나누었을 때의 나머지를 구하시오. 더보기 정답 $3$ $f(x)=x^3-3x^2+3x-6$ 라고 하면 $f(x)$ 를 $x-3$ 으로 나눈 나머지는 $f(3)$ 과 같다. $f(3)=3^3 - 3 \times 3^2 +3 \times 3-6 = 27-27+9-6=3$

부등식 $|x-5|

$x$ 에 대한 이차방정식 $x^2+2ax+a^2+4a-28=0$ 이 실근을 갖도록 하는 모든 자연수 $a$ 의 개수를 구하시오. 더보기 정답 $7$ 주어진 이차방정식의 판별식을 $D$ 라고 하면 $\dfrac{D}{4}= a^2 -a^2 -4a+28 \ge 0$ $\therefore a \le 7$ 모든 자연수 $a$ 의 개수는 $1,\; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6, \; 7$ 의 7개다.

$x$ 에 대한 이차방정식 $x^2-px+p+19=0$ 이 서로 다른 두 허근을 갖는다. 한 허근의 허수부분이 $2$ 일 때, 양의 실수 $p$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $10$ 실계수 이차방정식이므로 주어진 이차방정식의 한 허근을 $a+2i$ 라고 하면 나머지 한 근은 $a-2i$ 가 된다. 이차방정식 근과 계수와의 관계를 이용하면 $2a=p, \; a^2+4=p+19$ 이므로 $a^2-2a-15=0$ $(a-5)(a+3)=0$ $\therefore p=2a=2 \times 5 = 10 \; (\because p>0)$