나머지 정리 & 인수정리_난이도 하 (2024년 6월 전국연합 고1 11번)

 

 

$x$ 에 대한 두 다항식 $x^3+2x^2+3x+6$ 과 $x^3+x+a$ 가 모두 $x+b$ 로 나누어떨어질 때, $a+b$ 의 값은? (단, $a, \; b$ 는 실수이다.)

 

① $11$          ② $12$          ③ $13$          ④ $14$          ⑤ $15$

 

정답 ②

$f(x)=x^3+2x^2+3x+6$ 이라고 하면 $f(-b)=0$ 이므로

$\begin{aligned}f(-b)&=-b^3+2b^2-3b+6 \\ &= -b^2(b-2)-3(b-2) \\ &= -(b-2)\left (b^2+3 \right ) \\ &=0 \end{aligned}$

에서 $b=2$

$g(x)=x^3+x+a$ 라고 하면 $g(-b)=g(-2)=0$ 이므로

$g(-2)=-8-2+a=0$

$\therefore a=10$

 

$\therefore a+b=10+2=12$