수악중독

좌표공간의 두 점 $\mathrm{A}(a, \; b, \; 6)$, $\mathrm{B}(-4, \; -2, \; c)$ 에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$ 를 $3:2$ 로 내분하는 점이 $z$ 축 위에 있고, 선분 $\mathrm{AB}$ 를 $3:2$ 로 외분하는 점이 $xy$ 평면 위에 있을 때, $a+b+c$ 의 값은? ① $11$          ② $12$          ③ $13$          ④ $14$          ⑤ $15$ 더보기정답 ③

자연수 $n \; (n \ge 2)$ 에 대하여 직선 $x=\dfrac{1}{n}$ 이 두 타원 $$C_1 \; : \; \dfrac{x^2}{2}+y^2=1, \quad C_2 \; : \; 2x^2+\dfrac{y^2}{2}=1$$ 과 만나는 제$1$사분면 위의 점을 각각 $\mathrm{P, \; Q}$ 라 하자. 타원 $C_1$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 에서의 접선의 $x$ 절편을 $\alpha$, 타원 $C_2$ 위의 점 $\mathrm{Q}$ 에서의 접선의 $x$ 절편을 $\beta$ 라 할 때, $6 \le \alpha-\beta \le 15$ 가 되도록 하는 모든 $n$ 의 개수는? ① $7$          ② $9$          ③ $11$          ④ $13$    ..

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=6$, $\overline{\mathrm{BC}}=4\sqrt{5}$ 인 사면체 $\mathrm{ABCD}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{BC}$ 의 중점을 $\mathrm{M}$ 이라 하자. 삼각형 $\mathrm{AMD}$ 가 정삼각형이고 직선 $\mathrm{BC}$ 는 평면 $\mathrm{AMD}$ 와 수직일 때, 삼각형 $\mathrm{ACD}$ 에 내접하는 원의 평면 $\mathrm{BCD}$ 위로의 정사영의 넓이는?  ① $\dfrac{\sqrt{10}}{4}\pi$          ② $\dfrac{\sqrt{10}}{6}\pi$          ③ $\dfrac{\sqrt{10}}{8}\pi$          ④ $\dfrac{..

좌표공간에 $\overline{\mathrm{AB}}=8$, $\overline{\mathrm{BC}}=6$, $\angle \mathrm{ABC}=\dfrac{\pi}{2}$ 인 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$ 와 선분 $\mathrm{AC}$ 를 지름으로 하는 구 $S$ 가 있다. 직선 $\mathrm{AB}$ 를 포함하고 평면 $\mathrm{ABC}$ 에 수직인 평면이 구 $S$ 와 만나서 생기는 원을 $O$ 라 하자. 원 $O$ 위의 점 중에서 직선 $\mathrm{AC}$ 까지의 거리가 $4$ 인 서로 다른 두 점을 $\mathrm{P, \; Q}$ 라 할 때, 선분 $\mathrm{PQ}$ 의 길이는? ① $\sqrt{43}$          ② $\sqrt{47}$          ③..

두 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0), \; \mathrm{F'}(-c, \; 0) \; (c>0)$ 인 쌍곡선 $x^2-\dfrac{y^2}{35}=1$ 이 있다. 이 쌍곡선 위에 있는 제$1$사분면 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 직선 $\mathrm{PF'}$ 위에 $\overline{\mathrm{PQ}}=\overline{\mathrm{PF}}$ 인 점 $\mathrm{Q}$ 를 잡자. 삼각형 $\mathrm{QF'F}$ 와 삼각형 $\mathrm{FF'P}$ 가 서로 닮음일 때, 삼각형 $\mathrm{PFQ}$ 의 넓이는 $\dfrac{q}{p}\sqrt{5}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $\overline{\mathrm{PF'}}  더보기정답 $107$