자연수 $n \; (n \ge 2)$ 에 대하여 직선 $x=\dfrac{1}{n}$ 이 두 타원 $$C_1 \; : \; \dfrac{x^2}{2}+y^2=1, \quad C_2 \; : \; 2x^2+\dfrac{y^2}{2}=1$$ 과 만나는 제$1$사분면 위의 점을 각각 $\mathrm{P, \; Q}$ 라 하자. 타원 $C_1$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 에서의 접선의 $x$ 절편을 $\alpha$, 타원 $C_2$ 위의 점 $\mathrm{Q}$ 에서의 접선의 $x$ 절편을 $\beta$ 라 할 때, $6 \le \alpha-\beta \le 15$ 가 되도록 하는 모든 $n$ 의 개수는?
