장축의 길이가 $8$ 이고 두 초점이 $\matrm{F}(2, \; 0), \; \mathrm{F'}(-2, \; 0)$ 인 타원을 $C_1$ 이라 하자. 장축의 길이가 $12$ 이고 두 초점이 $\mathrm{F}$, $\mathrm{P}(a, \; 0) \;(a>2)$ 인 타원을 $C_2$ 라 하자. 두 타원 $C_1$ 과 $C_2$ 가 만나는 점 중 $y$ 좌표가 양수인 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{F'Q}}, \; \overline{\mathrm{FQ}}, \; \overline{\mathrm{PQ}}$ 가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, $a=p+q\sqrt{10}$ 이다. $p^2+q^2$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 정수이다.)
