양수 $a$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{AB}}=3a^2+10a+7$, $\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{AE}}=a$ 인 직육면체 $\mathrm{ABCD-EFGH}$ 가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$ 를 $1:a$ 로 내분하는 점을 $\mathrm{P}$, 선분 $\mathrm{DC}$ 를 $1:a$ 로 내분하는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자.
직육면체 $\mathrm{ABCD-EFGH}$ 에서 단면 $\mathrm{PFGQ}$ 가 생기도록 삼각기둥 $\mathrm{PFB-QGC}$ 를 잘라 내었다. 사각기둥 $\mathrm{AEFP-DHGQ}$ 의 부피를 $V_1$, 삼각기둥 $\mathrm{PFB-QGC}$ 의 부피를 $V_2$ 라 하자. $V_1-V_2=4$ 일 때, 선분 $\mathrm{AP}$ 의 길이는?
① $\dfrac{15}{2}$ ② $8$ ③ $\dfrac{17}{2}$ ④ $9$ ⑤ $\dfrac{19}{2}$
