대칭이동의 활용_거리의 합의 최솟값_난이도 상 (2024년 10월 전국연합 고1 21번)

 

 

좌표평면 위의 두 원 $$\begin{aligned} C_1 \; &: \; (x-2)^2+(y-6)^2=1, \\ C_2 \; &: \; (x-6)^2+(y-4)^2=9\end{aligned}$$ 에 대하여 원 $C_1$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$, 원 $C_2$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{Q}$, $y$ 축 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{R, \; S}$ 가 있다. 두 점 $\mathrm{R, \; S}$ 를 $x$ 축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 $\mathrm{R', \; S'}$ 이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.)

 

ㄱ. 두 점 $ \mathrm{A}(4, \; 2), \; \mathrm{A'}(4, \; -2)$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{AR}}=\overline{\mathrm{A'R'}}$ 이다.

ㄴ. 점 $\mathrm{A}(4, \; 2)$ 에 대하여 $\overline{\mathrm{AR}}+\overline{\mathrm{PR'}}$ 의 최솟값은 $9$ 이다.

ㄷ. 점 $\mathrm{B}(a, \; 6a+1)$ ($a$는 양의 상수) 에 대하여 $$\left ( \overline{\mathrm{BR}}+\overline{\mathrm{PR'}}\text{ 의 최솟값} \right ) = \left ( \overline{\mathrm{BS}}+\overline{\mathrm{QS'}}\text{의 최솟값} \right ) +2 $$ 일 때, $\overline{\mathrm{OB}}$ 의 값은 $\dfrac{\sqrt{65}}{2}$ 이다.

 

① ㄱ          ② ㄱ, ㄴ          ③ ㄱ, ㄷ          ④ ㄴ, ㄷ          ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

 

 

정답 ⑤