이차함수의 그래프_난이도 상 (2024년 9월 전국연합 고1 21번)

 

 

세 양수 $a, \; b, \; c$ 에 대하여 두 이차함수 $$f(x)=(x-a)^2+b, \quad g(x)=-\dfrac{1}{2}(x-c)^2+11$$ 이 있다. $x$ 에 대한 이차방정식 $f(x)=g(x)$ 는 서로 다른 두 실근 $\alpha, \; \beta \; (\alpha<\beta)$ 를 갖는다.

함수 $h(x)$ 가 $$h(x)=\begin{cases} f(x) & (\alpha \le x \le \beta) \\ g(x) & (x<\alpha \text{ 또는 } x> \beta) \end{cases}$$ 일 때, 함수 $h(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다.

 

함수 $y=h(x)$ 의 그래프와 직선 $y=k$ 가 서로 다른 세 점에서만 만나도록 하는 실수 $k$ 의 값은 $2$ 와 $3$ 이다.

 

함수 $y=h(x)$ 의 그래프가 직선 $y=2$ 와 만나는 서로 다른 세 점의 $x$ 좌표의 합을 $S$ 라 하고, 직선 $y=3$ 과 만나는 서로 다른 세 점의 $x$ 좌표의 합을 $T$ 라 하자.

$T-S = \dfrac{a}{2}$ 일 때, $h(\alpha + \beta)$ 의 값은?

 

① $\dfrac{17}{2}$          ② $9$          ③ $\dfrac{19}{2}$          ④ $10$          ⑤ $\dfrac{21}{2}$

 

정답 ⑤