삼수선의 정리&직선과 평면이 이루는 각_난이도 상 (2024년 7월 전국연합 고3 기하 30번)

 

 

공간에 점 $\mathrm{P}$ 를 포함하는 평면 $\alpha$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 서로 다른 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 각각 $\mathrm{A', \; B'}$ 이라 할 때, $\overline{\mathrm{AA'}}=9, \quad \overline{\mathrm{A'P}}=\overline{\mathrm{A'B'}}=5, \quad \overline{\mathrm{PB'}}=8$ 이다. 선분 $\mathrm{PB'}$ 의 중점 $\mathrm{M}$ 에 대하여 $\angle \mathrm{MAB}=\dfrac{\pi}{2}$ 일 때, 직선 $\mathrm{BM}$ 과 평면 $\mathrm{APB'}$ 이 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 하자. $\cos^2 \theta = \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

 

정답 $111$