이면각의 크기 & 정사영의 넓이_난이도 상 (2023년 10월 전국연합 고3 기하 30번)

 

 

좌표공간에 구 $S:x^2+y^2+ \left (z-\sqrt{5} \right )^2 = 9$ 가 $xy$ 평면과 만나서 생기는 원을 $C$ 라 하자. 구 $S$ 위에 네 점 $\mathrm{A, \; B, \; C, \; D}$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 선분 $\mathrm{AB}$ 는 원 $C$ 의 지름이다.

(나) 직선 $\mathrm{AB}$ 는 평면 $\mathrm{BCD}$ 에 수직이다.

(다) $\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{BD}}=\sqrt{15}$ 

 

삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 평면 $\mathrm{ABD}$ 위로의 정사영의 넓이를 $k$ 라 할 때, $k^2$ 의 값을 구하시오.

 

 

정답 $15$