이면각의 크기&삼수선의 정리&타원의 정의_난이도 상 (2023년 11월 수능 기하 28번)

 

 

그림과 같이 서로 다른 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 의 교선 위에 $\overline{\mathrm{AB}}=18$ 인 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 원 $C_1$ 이 평면 $\alpha$ 위에 있고, 선분 $\mathrm{AB}$ 를 장축으로 하고 두 점 $\mathrm{F, \; F'}$ 을 초점으로 하는 타원 $C_2$ 가 평면 $\beta$ 위에 있다. 원 $C_1$ 위의 한 점 $\mathrm{P}$ 에서 평면 $\beta$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 할 때, $\overline{\mathrm{HF'}}<\overline{\mathrm{HF}}$ 이고 $\angle \mathrm{HFF'}=\dfrac{\pi}{6}$ 이다. 직선 $\mathrm{HF}$ 와 타원 $C_2$ 가 만나는 점 중 점 $\mathrm{H}$ 와 가까운 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하면, $\overline{\mathrm{HF}}<\overline{\mathrm{FQ}}$ 이다. 점 $\mathrm{H}$ 를 중심으로 하고 점 $\mathrm{Q}$ 를 지나는 평면 $\beta$ 위의 원은 반지름의 길이가 $4$ 이고 직선 $\mathrm{AB}$ 에 접한다. 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 가 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $\cos \theta$ 의 값은? (단 점 $\mathrm{P}$ 는 평면 $\beta$ 위에 있지 않다.)

 

 

① $\dfrac{2\sqrt{66}}{33}$          ② $\dfrac{4\sqrt{69}}{69}$          ③ $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$          ④ $\dfrac{4\sqrt{3}}{15}$          ⑤ $\dfrac{2\sqrt{78}}{39}$

 

정답 ⑤