함수의 그래프 & 접선의 기울기 & 삼각함수의 미분법_난이도 상 (2022년 5월 교육청 고3 미적분 30번)

 

 

$a, \; b$ 가 양수일 때, 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)=axe^{-bx^2+b}$ 과 $t> \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 인 실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, \; f(t))$ 에서의 접선이 $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$, 원점 $\mathrm{O}$ 에서 이 접선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. $\angle \mathrm{HOQ} = g(t)$ 라 할 때, 함수 $g(t)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $\lim \limits_{t \to \frac{\sqrt{3}}{3}+} g(t)=0$

(나) 함수 $g(t)$ 는 최댓값 $\dfrac{\pi}{4}$ 를 갖는다.

 

$\dfrac{g' \left (\dfrac{\sqrt{6}}{3} \right )}{f''\left (\dfrac{\sqrt{6}}{3} \right ) } = - \dfrac{n}{m+e}$ 일 때, $m+n$ 의 값을 구하시오. (단, $\lim \limits_{x \to \infty} f(x)=0$ 이고, $m, \; n$ 은 자연수이다.)

 

정답 $8$