포물선과 쌍곡선의 정의_난이도 중상 (2022년 5월 교육청 고3 기하 29번)

 

 

그림과 같이 쌍곡선 $x^2-\dfrac{y^2}{9}=1$ 의 두 초점을 $\mathrm{F, \; F'}$ 이라 할 때, 점 $\mathrm{F'}$ 을 꼭짓점으로 하고 점 $\mathrm{F}$ 를 초점으로 하는 포물선이 쌍곡선과 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{A}$, 제$3$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{B}$ 라 하자. 점 $\mathrm{A}$ 를 중심으로 하고 점 $\mathrm{F'}$ 을 지나는 원을 $C_1$, 점 $\mathrm{B}$ 를 중심으로 하고 점 $\mathrm{F'}$ 을 지나는 원을 $C_2$ 라 하자. 원 $C_1$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 와 원 $C_2$ 위의 점 $\mathrm{Q}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{PQ}$ 의 중점을 $\mathrm{M}$ 이라 할 때, 점 $\mathrm{M}$ 의 $x$ 좌표의 최솟값을 $m$ 이라 하자. $m^2$ 의 값을 구하시오. (단, 점 $\mathrm{F}$ 의 $x$ 좌표는 양수이고, 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 는 서로 다른 점이다.)

 

 

정답 $90$