도형과 등비급수_난이도 중 (2022년 6월 평가원 고3 미적분 26번)

 

 

그림과 같이 $\overline{\rm A_1B_1}=2$,  $\overline{\rm B_1A_2}=3$ 이고 $\angle \rm A_1B_1A_2=\dfrac{\pi}{3}$ 인 삼각형 $\rm A_1A_2B_1$ 과 이 심각형의 외접원 $O_1$ 이 있다. 

점 $\rm A_2$ 를 지나고 직선 $\rm A_1B_1$ 에 평행한 직선이 원 $O_1$ 과 만나는 점 중 $\rm A_2$ 가 아닌 점을 $\rm B_2$ 라 하자. 두 선분 $\rm A_1B_2$ , $\rm B_1A_2$ 가 만나는 점을 $\rm C_1$ 이라 할 때, 두 삼각형 $\rm A_1A_2C_1$, $\rm B_1C_1B_2$ 로 만들어진 

 

모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 

그림 $R_1$ 에서 점 $\rm B_2$ 를 지나고 직선 $\rm B_1A_2$ 에 평행한 직선이 직선 $\rm A_1A_2$ 와 만나는 점을 $\rm A_3$ 이라 할 때, 삼각형 $\rm A_2A_3B_2$ 의 외접원을 $O_2$ 라 하자. 그림 $R_1$ 을 얻은 것과 같은 방법으로 두 점 $\rm B_3, \; C_2$ 를 잡아 원 $O_2$ 에 

 

모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} S_n$ 의 값은?

 

 

① $\dfrac{11\sqrt{3}}{9}$          ② $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$          ③ $\dfrac{13\sqrt{3}}{9}$          ④ $\dfrac{14\sqrt{3}}{9}$          ⑤ $\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$

 

정답 ②