사인법칙&코사인법칙_난이도 중 (2022년 3월 전국연합 고3 15번)

 

그림과 같이 원에 내접하는 사각형 $\mathrm{ABCD}$에 대하여 $$\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{BC}}=2, \; \; \overline{\mathrm{AD}}=3, \;\; \angle \mathrm{BAD}=\dfrac{\pi}{3}$$이다. 두 직선 $\mathrm{AD, \; BD}$의 교점을 $\mathrm{E}$라 하자.

 

다음은 $\angle \mathrm{AEB}=\theta$일 때, $\sin \theta$의 값을 구하는 과정이다.

 

삼각형 $\mathrm{ABD}$와 삼각형 $\mathrm{BCD}$에서 코사인법칙을 이용하면 $$\overline{\mathrm{CD}}=\boxed{ (가) }$$이다. 삼각형 $\mathrm{EAB}$와 삼각형 $\mathrm{ECD}$에서 $$\angle \mathrm{AEB}\text{는 공통}, \; \angle \mathrm{EAB}= \angle \mathrm{ECD}$$이므로 삼각형 $\mathrm{EAB}$와 삼각형 $\mathrm{ECD}$는 닮음이다.

이를 이용하면 $$\overline{\mathrm{ED}}=\boxed{ (나) }$$이다. 삼각형 $\mathrm{ECD}$에서 사인법칙을 이용하면 $$\sin \theta = \boxed{ (다) }$$이다.

 

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p, \; q, \; r$라 할 때, $(p+q) \times r$의 값은?

 

① $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$          ② $\dfrac{4\sqrt{3}}{7}$          ③ $\dfrac{9\sqrt{3}}{14}$          ④ $\dfrac{5\sqrt{3}}{7}$          ⑤ $\dfrac{11\sqrt{3}}{14}$

 

정답 ④