삼각함수_코사인법칙_난이도 중 (2021년 11월 수능 15번)

두 점 $\rm O_1, \; O_2$ 를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\overline{\rm O_1O_2}$ 인 두 원 $C_1, \; C_2$ 가 있다. 그림과 같이 원 $C_1$ 위의 서로 다른 세 점 $\rm A, \; B, \; C$ 와 원 $C_2$ 위의 점 $\rm D$ 가 주어져 있고, 세 점 $\rm A, \; O_1, \; O_2$ 와 세 점 $\rm C, \; O_2, \; D$ 가 각각 한 직선 위에 있다. 이때 $\rm \angle BO_1A = \theta_1 , \; \angle O_2O_1C=\theta_2, \; \angle O_1O_2D=\theta_3$ 이라 하자.

 

다음은 $\overline{\rm AB} : \overline{\rm O_1D} = 1:2\sqrt{2}$ 이고 $\theta_3=\theta_1 + \theta_2$ 일 때, 선분 $\rm AB$ 와 선분 $\rm CD$ 의 길이의 비를 구하는 과정이다. 

 

$\rm \angle CO_2O_1 + \angle O_1O_2D=\pi$ 이므로 $\theta_3 = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\theta_2}{2}$ 이고 $\theta_3 = \theta_1 + \theta_2$ 에서 $2\theta_1 + \theta_2 = \pi$ 이므로 $\rm \angle CO_1B=\theta_1$ 이다. 이때 $\rm \angle O_2O_1B = \theta_1 + \theta_2 = \theta_3$ 이므로 삼각형 $\rm O_1O_2B$ 와 삼각형 $\rm O_2O_1D$ 는 합동이다. 

$\overline{\rm AB}=k$ 라 할 때 $\overline{\rm BO_2} = \overline{\rm O_1D}=2\sqrt{2}k$ 이므로 $\overline{\rm AO_2}=\boxed{ (가) }$ 이고, $\rm \angle BO_2A=\dfrac{\theta_1}{2}$ 이므로 $\cos \dfrac{\theta_1}{2} = \boxed{ (나) }$ 이다. 

삼각형 $\rm O_2BC$ 에서 $\overline{\rm BC} = k, \; \overline{\rm BO_2} = 2\sqrt{2}k, \; \angle{\rm CO_2B} = \dfrac{\theta_1}{2}$ 이므로 코사인법칙에 의하여 $\overline{\rm O_2C}=\boxed{ (다) }$ 이다.

$\overline{\rm CD} = \overline{\rm O_2D}+\overline{\rm O_2C} = \overline{\rm O_1O_2} + \overline{\rm O_2C}$ 이므로 $\overline{\rm AB} : \overline{\rm CD} = k : \left (\dfrac{\boxed{ (가) }}{2} + \boxed{ (다) } \right )$ 이다. 

 

위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(k), \; g(k)$ 라 하고, (나)에 알맞은 수를 $p$ 라 할 때, $f(p) \times g(p)$ 의 값은?

 

① $\dfrac{55}{9}$          ② $\dfrac{166}{27}$          ③ $\dfrac{167}{27}$          ④ $\dfrac{56}{9}$          ⑤ $\dfrac{169}{27}$

 

정답 ②