여러 가지 수열의 합_난이도 상 (2021년 4월 전국연합 고3 14번)

$4$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $n$ 이하의 네 자연수 $a, \; b, \; c, \; d$ 가 있다.

 

(가) $a>b$

(나) 좌표평면 위의 두 점 ${\rm A}(a, \; b), \; {\rm B}(c, \; d)$ 와 원점 $\rm O$ 에 대하여 삼각형 $\rm OAB$ 는 $\angle {\rm A} = \dfrac{\pi}{2}$ 인 직각이등변삼각형이다.

 

다음은 $a, \; b, \; c, \; d$ 의 모든 순서쌍 $(a, \; b, \; c, \; d)$ 의 개수를 $T_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=4}^{20} T_n$ 의 값을 구하는 과정이다.

 

점 ${\rm A}(a, \; b)$ 에 대하여 점 ${\rm B}(c, \; d)$ 가 $\overline{\rm OA} \bot \overline{\rm AB}, \; \overline{\rm OA}= \overline{\rm AB}$ 를 만족시키려면 $c=a-b$, $d=a+b$ 이어야 한다. 이때, $a>b$ 이고 $d$ 가 $n$ 이하의 자연수이므로 $b< \dfrac{n}{2}$ 이다.

$\dfrac{n}{2}$ 미만의 자연수 $k$ 에 대하여 $b=k$ 일 때, $a+b \le n$ 을 만족시키는 자연수 $a$ 의 개수는 $n-2k$ 이다. $2$ 이상의 자연수 $m$ 에 대하여 

$({\rm i})\; n=2m$ 인 경우

   $b$ 가 될 수 있는 자연수는 $1$ 부터 $\boxed{ \; (가) \; }$ 까지이므로 $T_{2m} = \sum \limits_{k=1}^{\boxed{\; (가) \;}} (2m-2k)= \boxed{\; (나) \; }$

$({\rm ii}) \;n=2m+1$ 인 경우$T_{2m+1} = \boxed{ \; (다) \; }$

$\rm (i), \; (ii)$ 에 의해 $\sum \limits_{n=4}^{20} T_n = 614$

 

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(m), g(m), h(m)$ 이라 할 때, $f(5) + g(6) + h(7)$ 의 값은?

 

① $71$          ② $74$          ③ $77$          ④ $80$          ⑤ $83$

 

정답 ⑤