자연수 $n$ 에 대하여 점 ${\rm A}_n \left (n, \; n^2 \right )$ 을 지나고 직선 $y=nx$ 에 수직인 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 ${\rm B}_n$ 이라 하자.
다음은 삼각형 ${\rm A}_n{\rm OB}_n$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^8 \dfrac{S_n}{n^3}$ 의 값을 구하는 과정이다. (단, $\rm O$ 는 원점이다.)
점 ${\rm A}_n \left (n, \; n^2 \right )$ 을 지나고 $y=nx$ 에 수직인 직선의 방정식은 $$y= \boxed{\; (가) \; } \times x +n^2+1$$ 이므로 두 점 ${\rm A}_n, \; {\rm B}_n$ 의 좌표를 이용하여 $S_n$ 을 구하면 $$S_n = \boxed{\; (나) \; }$$ 따라서 $$\sum \limits_{n=1}^8 \dfrac{S_n}{n^3} = \boxed{\; (다)\; }$$ 이다.
위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(n), \; g(n)$ 이라 하고, (다)에 알맞은 수를 $r$ 이라 할 때, $f(1)+g(2)+r$ 의 값은?
