도형과 등비급수_난이도 중상 (2020년 10월 교육청 고3 가형 18번)

그림과 같이 길이가 $4$ 인 선분 $\rm A_1B_1$ 을 지름으로 하는 반원 $O_1$ 의 호 $\rm A_1B_1$ 을 $4$ 등분하는 점을 $\rm A_1$ 에서 가까운 순서대로 각각 $\rm C_1, \; D_1, \; E_1$ 이라 하고, 두 점 $\rm C_1, \; E_1$ 에서 선분 $\rm A_1B_1$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm A_2, \; B_2$ 라 하자. 사각형 $\rm C_1A_2B_2E_1$ 의 외부와 삼각형 $\rm D_1A_1B_1$ 의 외부의 공통부분 중 반원 $O_1$ 의 내부에 있는 영역을 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.

그림 $R_1$ 에서 선분 $\rm A_2B_2$ 를 지름으로 하는 반원 $O_2$ 를 반원 $O_1$ 의 내부에 그리고, 반원 $O_2$ 의 호 $\rm A_2B_2$ 를 $4$ 등분하는 점을 점 $\rm A_2$ 에서 가까운 순서대로 각각 $\rm C_2, \; D_2, \; E_2$ 라 하고, 두 점 $\rm C_2, \; E_2$ 에서 선분 $\rm A_2B_2$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm A_3, \; B_3$ 이라 하자. 사각형 $\rm C_2A_3B_3E_2$ 의 외부와 삼각형 $\rm D_2A_2B_2$ 외부의 공통부분 중 반원 $O_2$ 의 내부에 있는 영역을 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} S_n$ 의 값은?

 

① $ 4\pi + 4 \sqrt{2} -16$           ② $ 4\pi + 16\sqrt{2} -32$          ③ $ 4\pi + 8 \sqrt{2} -20$          

④ $ 2\pi + 16 \sqrt{2} -24$          ⑤ $ 2\pi + 8 \sqrt{2} -12$

 

정답 ②