도형과 무한등비급수_난이도 중상 (2020년 6월 평가원 고3 가형 20번)

그림과 같이 $\overline{\rm AB_1}=3, \; \overline{\rm AC_1}=2$ 이고 $\angle \rm B_1 AC_1 = \dfrac{\pi}{3}$ 인 삼각형 $\rm AB_1C_1$ 이 있다. $\angle \rm B_1 A C_1$ 의 이등분선이 선분 $\rm B_1C_1$ 과 만나는 점을 $\rm D_1$, 세 점 $\rm A, \; D_1, \; C_1$ 을 지나는 원이 선분 $\rm AB_1$ 과 만나는 점 중 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm B_2$ 라 할 때, 두 선분 $\rm B_1 B_2$, $\rm B_1D_1$ 과 호 $\rm B_2 D_1$ 으로 둘러싸인 부분과 선분 $\rm C_1 D_1$ 과 호 $\rm C_1 D_1$ 로 둘러싸인 부분인

 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1$ 에서 점 $\rm B_2$ 를 지나고 직선 $\rm B_1C_1$ 에 평행한 직선이 두 선분 $\rm AD_1 , \; AC_1$ 과 만나는 점을 각각 $\rm D_2, \; C_2$ 라 하자. 세 점 $\rm A, \; D_2, \; C_2$ 를 지나는 원이 선분 $\rm AB_2$ 와 만나는 점 중 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm B_3$ 이라 할 때, 두 선분 $\rm B_2 B_3, \; B_2D_2$ 와 호 $\rm B_3D_2$ 로 둘러싸인 부분과 선분 $\rm C_2D_2$ 와 호 $\rm C_2D_2$ 로 둘러싸인 부분인

 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{ n \to \infty} S_n$ 의 값은?

① $\dfrac{27 \sqrt{3}}{46}$          ② $\dfrac{15 \sqrt{3}}{23}$          ③ $\dfrac{33 \sqrt{3}}{46}$          ④ $\dfrac{18 \sqrt{3}}{23}$          ⑤ $\dfrac{39 \sqrt{3}}{46}$

정답 ①