(이과) 정적분 형태로 정의된 함수&부분적분_난이도 상 (2018년 11월 대구교육청 가형 30번)

구간 $(0, \; \infty)$ 에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle \int_1^x f \left ( t^2 \right )  dt = 2xf(x)+4$

(나) $\displaystyle \int_1^e \dfrac{f(t)}{t} \; dt = 1+ \dfrac{1}{e^2} - \dfrac{3}{e^4}$

함수 $g(x)= \displaystyle \int_0^{\ln x^2} f \left (e^t \right ) dt$ 에 대하여 $\displaystyle \int_1^e g(x) dx = k_1 e + \dfrac{k_2}{e} + \dfrac{k_3}{e^3} + k_4$ 일 때, $|k_1| + |k_2| + |k_3| + |k_4|$ 의 값을 구하시오. (단, $k_1 , \; k_2 , \; k_3 , \; k_4$ 는 유리수이다.) 

정답 $36$