정적분의 성질_난이도 상

모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)>0$ 인 이차함수 $f(x)$ 와 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $g(x)$ 에 대하여 함수 $H(x)$ 를 $H(x)=\displaystyle \int_{g(x)}^{f(x)} f(t) \; dt$ 라고 할 때, 함수 $f(x), \; g(x), \; H(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $H(1)=0$

(나) 함수 $f(x)$ 와 함수 $g(x)$ 가 만나는 모든 점의 $x$ 좌표 값은 정수이다.

(다) $x<k$ 인 어떤 실수 $x$ 에 대하여 $H(x)<0$ 을 만족하는 정수 $k$ 의 최솟값은 $5$ 이다.

$\displaystyle \int_0^1 f(x) \; dx - \int_0^1 g(x)\; dx$ 의 값을 $\dfrac{q}{p}$ 라고 할 때, $p^2+q^2$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

정답 $41$