원과 원의 위치관계&등차수열의 일반항_난이도 상

모든 자연수 $k$ 에 대하여 좌표평면에 중심이 ${\rm A}_k$, 반지름의 길이가 $r_k$ 인 원 $C_k$ 를 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) $\rm A_1 (1, \;0)$  이고 $r_1=1$ 이다.

(나) 점 ${\rm A}_{k+1}$ 은 점 ${\rm A}_k$ 를 $x$ 축의 방향으로 $3$ 만큼 평행이동한 점이다.

(다) $r_{k+1} = r_k +2$

자연수 $m$에 대하여 집합 $X_m$ 을 $$X_m = \{ k \; | \; k \ne m 이고, \; 원\; C_m과 \; 원 \; C_k 는 \; 만난다.\}$$라 할 때, $n(X_m) \ge 500$ 을 만족시키는 $m$ 의 최솟값을 구하시오.

정답 $105$