(이과) 함수의 그래프와 미분불가능한 점_난이도 상

$0 \le t \le 2 \pi$ 인 실수 $t$ 에 대하여 함수 $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{\sqrt 3 x + \sin 2x + k}&{\left( {0 \le x < t} \right)}\\{\sqrt 3 x + \sin 2x}&{\left( {t \le x \le 2\pi } \right)}\end{array}} \right.$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자. 열린 구간 $(0, \; 2\pi)$ 에서 함수 $g(t)$ 의 미분가능하지 않은 점의 개수가 $2$ 가 되도록 하는 실수 $k$ 의 최댓값은 $p\sqrt{3}\pi +q$ 이다. $24 \times (p+q)$ 의 값을 구하시오. (단, $0<k<2 \sqrt{3} \pi$ 이고 $\sqrt{3} \pi$ 는 무리수이며,  $p$ 와 $q$ 는 유리수이다.)

정답 $26$