도형과 무한등비급수_난이도 중 (2016년 9월 평가원 나형 16번)

그림과 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 안에 꼭짓점 $\rm A_1, \; C_1$ 을 중심으로 하고 선분 $\rm A_1B_1, \; C_1 D_1$ 을 반지름으로 하는 사분원을 각각 그린다. 선분 $\rm A_1C_1$ 이 두 사분원과 만나는 점 중 점 $\rm A_1$ 과 가까운 점을 $\rm A_2$, 점 $\rm C_1$ 과 가까운 점을 $\rm C_2$ 라 하자. 선분 $\rm A_1D_1$ 에 평행하고 점 $\rm A_2$ 를 지나는 직선이 선분 $\rm A_1B_1$ 과 만나는 점을 $\rm E_1$, 선분 $\rm B_1C_1$ 에 평행하고 점 $\rm C_2$ 를 지나는 직선이 선분 $\rm C_1D_1$ 과 만나는 점을 $\rm F_1$ 이라 하자. 삼각형 $\rm A_1E_1A_2$ 와 삼각형 $\rm C_1F_1C_2$ 를 그린 후 두 삼각형의 내부에 속하는 영역을 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.

그림 $R_1$ 에 선분 $\rm A_2C_2$ 를 대각선으로 하는 정사각형을 그리고, 새로 그려진 정사각형 안에 그림 $R_1$ 을 얻은 것과 같은 방법으로 두 개의 사분원과 두 개의 삼각형을 그리고 두 삼각형의 내부에 속하는 영역을 색칠아혀 얻은 그림을 $R_2$ 라고 하자. 

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty}S_n$ 의 값은?

① $\dfrac{1}{12} \left ( \sqrt{2} -1 \right )$          ② $\dfrac{1}{6} \left ( \sqrt{2} -1 \right )$          ③ $\dfrac{1}{4} \left ( \sqrt{2} -1 \right )$          ④ $\dfrac{1}{3} \left ( \sqrt{2} -1 \right )$          ⑤ $\dfrac{5}{12} \left ( \sqrt{2} -1 \right )$          

정답 ③