자연수 거듭제곱의 합_난이도 상 (2016년 4월 교육청 나형 29번)

그림과 같이 자연수 $n$ 에 대하여 기울기가 $1$ 이고 $y$ 절편이 양수인 직선이 원 $x^2+y^2=\dfrac{n^2}{2}$ 에 접할 때, 이 직선이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 ${\rm A}_n, \; {\rm B}_n$ 이라 하자. 점 ${\rm A}_n$ 을 지나고 기울기가 $-2$ 인 직선이 $y$ 축과 만나는 점을 ${\rm C}_n$ 이라 할 때, 삼각형 ${\rm A}_n{\rm B}_n{\rm C}_n$ 과 그 내부의 점들 중 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수인 점의 개수를 $a_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=1}^{10} a_n$ 의 값을 구하시오. 

정답 $725$