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미분의 활용 본문

(9차) 미적분 I 개념정리

미분의 활용

수악중독 2017.06.06 00:50

접선의 방정식







접선의 방정식 관련 예제


접선의 방정식_접점이 주어진 경우_난이도 중

접선의 방정식_기울기가 주어진 경우_난이도 중

접선의 방정식_곡선 밖의 한 점이 주어지는 경우_난이도 상


접선의 방정식_난이도 하(계산 쩜)

접선의 방정식_난이도 하

접선의 방정식_난이도 중

접선의 방정식_난이도 중

접선의 방정식_난이도 중

접선의 방정식_곡선 밖의 한 점이 주어질 때_난이도 중

접선의 방정식_난이도 중

접선의 방정식_난이도 중

접선의 방정식_난이도 중

접선의 방정식_난이도 중


접선의 방정식_난이도 중

접선의 방정식_난이도 중

접선의 방정식_난이도 중

접선의 방정식_난이도 상



롤의 정리 (Rolle's Theorem)

함수 $f(x)$ 가 닫힌 구간 $[a, \; b]$ 에서 연속이고 열린 구간 $(a, \; b)$ 에서 미분가능할 때, $ f(a)=f(b)$ 이면 $f'(c)=0$ 인 $c$ 가 열린 구간 $(a, \; b)$ 안에 적어도 하나 존재한다.


(1) 함수 $f(x)$ 가 상수함수인 경우

$f(x)=k$ ($k$ 는 상수) 이면 $f'(x)=0$ 이다. 따라서 열린 구간 $(a, \; b)$ 에 속하는 모든 $x$ 에 대하여 $f'(x)=0$ 이고, 이는 곧 $f'(c)=0$ 인 $c$ 가 열린 구간 $(a, \; b)$ 에 반드시 존재함을 의미한다.


(2) 함수 $f(x)$ 가 상수함수가 아닌 경우

이 경우 함수 $f(x)$ 는 최대최소의 정리로부터 구간의 양 끝점 $a, \; b$ 가 아닌 점에서 최댓값 혹은 최솟값을 적어도 하나 갖게 된다. 

▶ 함수 $f(x)$ 가 $x=c$ $(a<c<b)$ 에서 최댓값을 갖는 경우 

열린 구간 $(a, \; b)$ 에서 $f(c)$ 가 최댓값이므로 $a<t<b$ 인 모든 $t$ 에 대하여 $f(t) \le f(c)$ 가 성립한다. 

$$t<c \; 일 때,\; \dfrac{f(t)-f(c)}{t-c} \ge 0\; 이므로 \; \lim \limits_{t \to c-} \dfrac{f(t)-f(c)}{t-c} \ge 0 \\[15pt] t>c \; 일 때, \; \dfrac{f(t)-f(c)}{t-c} \le 0\; 이므로 \;\lim \limits_{t \to c+} \dfrac{f(t)-f(c)}{t-c} \le 0$$

이때, 함수 $f(x)$ 는 열린 구간 $(a, \; b)$ 에서 미분가능한 함수이므로 당연히 $x=c$ 에서도 미분이 가능하고, 이것은 곧 위의 좌극한과 우극한이 서로 같아야 함을 의미한다. $$\therefore f'(c)=\lim \limits_{t \to c} \dfrac{f(t)-f(c)}{t-c}=0$$


▶ 함수 $f(x)$ 가 $x=c$ $(a<c<b)$ 에서 최솟값을 갖는 경우

열린 구간 $(a, \; b)$ 에서 $f(c)$ 가 최솟값이므로 $a<t<b$ 인 모든 $t$ 에 대하여 $f(t) \ge f(c)$ 가 성립한다. 

$$t<c \; 일 때,\; \dfrac{f(t)-f(c)}{t-c} \le 0\; 이므로 \; \lim \limits_{t \to c-} \dfrac{f(t)-f(c)}{t-c} \le 0 \\[15pt] t>c \; 일 때, \; \dfrac{f(t)-f(c)}{t-c} \ge 0\; 이므로 \;\lim \limits_{t \to c+} \dfrac{f(t)-f(c)}{t-c} \ge 0$$

이때, 함수 $f(x)$ 는 열린 구간 $(a, \; b)$ 에서 미분가능한 함수이므로 당연히 $x=c$ 에서도 미분이 가능하고, 이것은 곧 위의 좌극한과 우극한이 서로 같아야 함을 의미한다. $$\therefore f'(c)=\lim \limits_{t \to c} \dfrac{f(t)-f(c)}{t-c}=0$$

따라서 닫힌 구간 $[a, \; b]$ 에서 연속이고, 열린 구간 $(a, \; b)$ 에서 미분가능한 함수에 대하여 롤의 정리가 성립함을 알 수 있다.





평균값의 정리






평균값의 정리 관련 예제



평균값의 정리_난이도 중

평균값의 정리_난이도 상

평균값의 정리_난이도 상








함수의 증가와 감소




극대와 극소


극대와 극소의 판정



함수의 증가와 감소 관련 예제


함수의 증가와 감소_난이도 중

함수의 증가와 감소_난이도 중

함수의 증가와 감소_난이도 중

함수의 증가와 감소_난이도 상



극대와 극소 관련 예제



극대 극소와 미분_난이도 중

극대 극소와 미분_난이도 중

극대와 극소_난이도 중

극대 극소와 미분_난이도 중

극대 극소와 미분_난이도 중

극대 극소와 미분_난이도 중

극대 극소와 미분_난이도 중

극대 극소와 미분_난이도 중

극대 극소와 미분_난이도 상




삼차함수 그래프 그리기



위 영상을 보셨다면 다음 글들을 꼭 보세요.



삼차 함수 그래프의 특징



사차함수 그래프 그리기



위 영상을 보셨다면 다음 글들을 꼭 보세요.


사차함수 그래프의 특징



최대, 최소와 미분


 함수의 최댓값과 최솟값 관련 예제


최대최소와 미분_난이도 중

최대최소와 미분_난이도 중

최대최소와 미분_난이도 중

최대최소와 미분_난이도 중

최대최소와 미분_난이도 중

최대최소와 미분_난이도 중

최대최소와 미분_난이도 중

최대최소와 미분_난이도 중

최대최소와 미분_난이도 상


방정식과 미분


부등식과 미분


방정식 부등식에의 활용 관련 예제


방정식 부등식과 미분_삼차방정식 실근조건_난이도 하

부등식과 미분_난이도 중

미분_부등식에의 응용_난이도 중

2015학년도 수능 A형 14번 (미분_방정식에의 응용_난이도 중)

미분_방정식에의 응용_난이도 상

방정식과 미분 _난이도 상

부등식과 미분_난이도 상



속도와 가속도





속도, 가속도와 미분 관련 예제



거리 속도와 미분_난이도 중

속도 거리와 미분_난이도 중

변화율_난이도 중

변화율_난이도 중

변화율_난이도 중

속도 가속도와 미분_난이도 중

미분_넓이의 변화율_난이도 상

속도 거리와 미분_난이도 상




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