수학1_수열_점화식_난이도 상

$n$ 이 자연수일 때, 집합 $A_n = \{ 1 , \; 2 , \; 3 , \; \cdots , \; n \}$ 에서 집합 $A_n$ 으로의 함수 $f$ 중에서 합성함수 $f \circ f$ 가 항등함수인 $f$ 의 개수를 $a_n$ 이라 하자. 다음은 수열 $\{ a_n \}$ 의 연속한 세 항 사이의 점화식을 구하는 과정이다.

집합 $A_{n+2}$ 에서 집합 $A_{n+2}$ 로의 함수 중에서 $f \circ f$가 항등함수인 함수 $f$ 는 다음과 같이 두 가지 경우로 나눌 수 있다.

(i) $f(n+2)=n+2$ 일 때, 집합 $A_{n+1}$ 에서 집합 $A_{n+1}$ 으로의 함수 중에서 $f \circ f$ 가 항등함수인 함수 $f$ 의 개수는 $a_{n+1}$ 이다.

(ii) $f(n+2) \ne n+2$ 일 때, $f \circ f$ 가 항등함수이므로 $f ( n+2 ) = p ( p \ne n +2 )$ 라 하면 $f (p)= (가)$ 이다.

이때 집합 $A'_n$ 을 $A'_n = A_{n+2} - \{ p , \; n+2 \}$ 라 하면 집합 $A'_n$ 에서 집합 $A'_n$ 으로의 함수 중에서 $f \circ f$ 가 항등함수인 함수 $f$ 의 개수는 $a_n$ 이다. 따라서, $f (n+2) \ne n+2$ 인 함수 $f$ 의 개수는 $(나) \times a_n$ 이다.

(i), (ii) 에서

$a_{n+2} = a_{n+1} + (나) \times a_n$

위의 과정에서 (가), (나) 에 알맞은 식을 각각 $g(n), \; h(n)$ 이라 할 때, $g(100) + h(100)$ 의 값은? 

① $201$          ② $202$          ③ $203$          ④ $204$          ⑤ $205$

 

 

정답 ③