헤론의 공식

세 변의 길이를 알 때, 삼각형의 넓이 구하기

삼각형 세 변의 길이를 각각 $a,\;\;b,\;\;c$ 라고 하고 삼각형의 넓이를 $Area$ 라고 하면$Area=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \;\;\;\;\left ( s= {\frac{a+b+c}{2}} \right )$

$Area={\displaystyle \frac{1}{2}} bc \sin {\rm A} = {\displaystyle \frac{1}{2}} bc \sqrt{\left ( 1- \cos ^2 {\rm A} \right ) }$     $\lhd$     $(0<{\rm A}<180^o$ 일 때, $\sin {\rm A}>0 )$ 
 
   $={\displaystyle \frac{1}{2}} bc \sqrt{(1+ \cos {\rm A} ) (1- \cos {\rm A})}$ 
 
   $={\displaystyle \frac{1}{2}} bc \sqrt { \left ( 1+ {\displaystyle \frac{b^2 +c^2 -a^2 }{2bc}} \right ) \left ( 1- {\displaystyle \frac{b^2 +c^2 -a^2}{2bc}} \right ) }$ 

  $= {\displaystyle \frac{1}{2}} bc \sqrt{ \displaystyle \frac{\left \{ 2bc+\left ( b^2 +c^2 -a^2  \right ) \right \} \left \{ 2bc - \left ( b^2 +c^2 -a^2 \right ) \right \}}{\left ( 2bc \right )^2 }}$

  $={\displaystyle \frac{1}{4}} \sqrt { \left \{ (b+c)^2 -a^2 \right \} \left \{ a^2 - (b-c)^2 \right \}}$

  $={\displaystyle \frac{1}{4}} \sqrt { (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}$ 

  $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$      $\left (단, \;\; s={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}} \right )$

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코사인 법칙을 사용하지 않고 증명하기