헤론의 공식

세 변의 길이를 알 때, 삼각형의 넓이 구하기

삼각형 세 변의 길이를 각각 \(a,\;\;b,\;\;c\) 라고 하고 삼각형의 넓이를 \(Area\) 라고 하면\[Area=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \;\;\;\;\left ( s= {\frac{a+b+c}{2}} \right ) \]

\(Area={\displaystyle \frac{1}{2}} bc \sin {\rm A} = {\displaystyle \frac{1}{2}} bc \sqrt{\left ( 1- \cos ^2 {\rm A} \right ) } \)     \(\lhd\)     \((0<{\rm A}<180^o\) 일 때, \(\sin {\rm A}>0 )\) 
 
   \(={\displaystyle \frac{1}{2}} bc \sqrt{(1+ \cos {\rm A} ) (1- \cos {\rm A})}\) 
 
   \( ={\displaystyle \frac{1}{2}} bc \sqrt { \left ( 1+ {\displaystyle \frac{b^2 +c^2 -a^2 }{2bc}} \right ) \left ( 1- {\displaystyle \frac{b^2 +c^2 -a^2}{2bc}} \right ) }  \) 

  \( = {\displaystyle \frac{1}{2}} bc \sqrt{ \displaystyle \frac{\left \{ 2bc+\left ( b^2 +c^2 -a^2  \right ) \right \} \left \{ 2bc - \left ( b^2 +c^2 -a^2 \right ) \right \}}{\left ( 2bc \right )^2 }} \)

  \( ={\displaystyle \frac{1}{4}} \sqrt { \left \{ (b+c)^2 -a^2 \right \} \left \{ a^2 - (b-c)^2 \right \}} \)

  \( ={\displaystyle \frac{1}{4}} \sqrt { (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \) 

  \( =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)      \( \left (단, \;\; s={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}} \right )\)

---

코사인 법칙을 사용하지 않고 증명하기