벡터의 외적

벡터의 외적은 $\overrightarrow a \times \overrightarrow b$라고 쓰고 다음과 같이 정의된다.

 $ \overrightarrow a  \times \overrightarrow b  = \left( { \left | \overrightarrow {a} \right | \left | \overrightarrow {b} \right | \sin \theta } \right ) \overrightarrow n $

위 식에서 $\theta$는 $\overrightarrow {a}$와 $\overrightarrow {b}$가 이루는 각을 나타내며, $\overrightarrow n$은 $\overrightarrow {a}$와 $\overrightarrow {b} $ 모두에 수직인 단위벡터 중 오른손의 네 손가락을 $\overrightarrow a$ 에서 $\overrightarrow b$쪽으로 감았을 때, 엄지가 가리키는 방향의 단위벡터를 나타낸다.

따라서 벡터의 외적은 스칼라가 되는 내적과는 달리 그 결과가 여전히 크기와 방향을 갖는 벡터의 형태로 나타나고, 교환법칙, 결합법칙이 성립하지 않는다.

 $\overrightarrow a  \times \overrightarrow b  =  - \overrightarrow b  \times \overrightarrow a $

 $\overrightarrow a  \times \left( {\overrightarrow b  \times \overrightarrow c } \right) \ne \left( {\overrightarrow a  \times \overrightarrow b } \right) \times \overrightarrow c $

 

또한 다음 그림처럼 좌표공간에서의 $x,\;y,\;z$축의 양의 방향을 나타내는 단위벡터를 각각 $\overrightarrow i ,\;\overrightarrow j ,\;\overrightarrow k $라고 할 때, 이들 세 벡터 사이에서는 분배법칙이 성립함을 알 수 있다.

 

$\begin{aligned} \overrightarrow i  \times \overrightarrow j   &= \left( {\left | {\;\overrightarrow i \;} \right | \;\left| {\;\overrightarrow j \;} \right | \sin {{90}^{\rm{o}}}} \right)\overrightarrow k \\ &= \overrightarrow k \end{aligned} $ 벡터 외적의 분배법칙 $\overrightarrow i  \times \left( {\overrightarrow j  + \overrightarrow k } \right) = \overrightarrow i  \times \overrightarrow j  + \overrightarrow i  \times \overrightarrow k $

따라서 다음과 같이 성분으로 주어진 두 벡터의 외적을 계산할 수 있다.

$\overrightarrow a  = \left( {{a_1},\;{a_2},\;{a_3}} \right),\;\;\overrightarrow b  = \left( {{b_1},\;{b_2},\;{b_3}} \right)$

$\overrightarrow a  = {a_1}\overrightarrow i  + {a_2}\overrightarrow j  + {a_3}\overrightarrow k ,\;\;\;\overrightarrow b  = {b_1}\overrightarrow i  + {b_2}\overrightarrow j  + {b_3}\overrightarrow k $

$\begin{aligned} \overrightarrow a \times \overrightarrow b &= \left( {{a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k } \right) \times \left( {{b_1}\overrightarrow i + {b_2}\overrightarrow j + {b_3}\overrightarrow k } \right) \\ & = {a_1}{b_1}\left( {\overrightarrow i \times \overrightarrow i } \right) + {a_1}{b_2}\left( {\overrightarrow i \times \overrightarrow j } \right) + {a_1}{b_3}\left( {\overrightarrow i \times \overrightarrow k } \right) \\ & \;\;\;+ {a_2}{b_1}\left( {\overrightarrow j \times \overrightarrow i } \right) + {a_2}{b_2}\left( {\overrightarrow j \times \overrightarrow j } \right) + {a_2}{b_3}\left( {\overrightarrow j \times \overrightarrow k } \right) \\ & \;\;\; + {a_3}{b_1}\left( {\overrightarrow k \times \overrightarrow i } \right) + {a_3}{b_2}\left( {\overrightarrow k \times \overrightarrow j } \right) + {a_3}{b_3}\left( {\overrightarrow k \times \overrightarrow k } \right) \\ &= \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right)\overrightarrow i + \left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right)\overrightarrow j + \left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\overrightarrow k \end{aligned} $ 

$ \because \begin{aligned}& \;\;\;\;\;\overrightarrow i \times \overrightarrow i = \overrightarrow 0 ,\;\;\overrightarrow j \times \overrightarrow j = \overrightarrow 0 ,\;\;\overrightarrow k \times \overrightarrow k = \overrightarrow 0 \\ & \;\;\;\;\overrightarrow i \times \overrightarrow j = \overrightarrow k ,\;\;\overrightarrow j \times \overrightarrow k = \overrightarrow i ,\;\;\overrightarrow k \times \overrightarrow i = \overrightarrow j \end{aligned} $

 

$\therefore \;\overrightarrow a  \times \overrightarrow b  = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2},\;\;{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3},\;\;{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)$

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벡터의 외적은 두 벡터가 이루는 평면에 수직이고 그 크기가 두 벡터의 크기에 두 벡터가 이루고 있는 각의 싸인값을 곱한 것이 되므로 수능 수학에서는 다음과 같이 활용될 수 있다.

공간에서 세 점 ${\rm A}(0,\;0,\;0), \; {\rm B}(1,\; 2,\; 3),\; {\rm C}(-2,\; 1,\; 3)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구하시오.

공간에서 세 점 ${\rm A}(0,\;0,\;0), \;{\rm B}(1,\;, 2,\; 3), \; {\rm C}(-2,\; 1,\; 3)$를 지나는 평면의 방정식을 구하시오.