수악중독

${}_{2n}{\rm C}_2 = \dfrac{(2n)!}{(2n-2)! \times 2!} = \dfrac{2n(2n-1)}{2} = 2n^2-n$ $2 \times {}_n{\rm C}_2 + n^2 = 2 \times \dfrac{n!}{(n-2)! \times 2!} +n^2 = n(n-1)+n^2=2n^2-n$ 쉽게 좌변과 우변이 같다는 것을 보일 수 있다. 이걸 이렇게 생각해 볼 수도 있다. $2n$ 명 중에서 두 명을 뽑는 경우의 수를 구한다고 가정하면, 다음의 세 가지 경우로 나누어 볼 수 있다. 일단 $2n$ 명을 $n$ 명 $n$ 명의 두 그룹 A, B 로 나눈다. 1) A 그룹에서만 두 명을 뽑는 경우 2) B 그룹에서만 두 명을 뽑는 경우 3) A 그룹에서 한 명, B 그룹에서 한..

제시문을 아래의 영상으로 대신합니다. 논제를 풀기 전에 아래의 영상을 꼭 보시길 바랍니다. 논제 $\sum \limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^{[2^n\sqrt{2}]}}{2^n}$ 의 값을 구하시오. (단, $[x]$ 는 $x$ 를 넘지 않는 최대의 정수) 정답 $2-2\sqrt{2}$

에르미트 항등식 (Hermite's identity)임의의 실수 $x$ 와 임의의 자연수 $n$ 에 대하여 다음의 식이 항상 성립한다.$$\sum \limits_{k=0}^{n-1} \left [ x+ \dfrac{k}{n} \right ] = [nx]$$위의 항등식을 에르미트 항등식 (Hermite's identity)라고 한다. 예제 1) 실수 $x$ 에 대하여 다음 식이 성립할 때, $[100x]$ 의 값을 구하시오. (단, $[x]$ 는 $x$ 를 넘지 않는 최대의 정수)$$\left [ x+ \dfrac{19}{100} \right ] + \left [ x+ \dfrac{20}{100} \right ] + \cdots + \left [ x + \dfrac{91}{100} \right ] = 54..

정수 $a, \; b, \; m$ 에 대하여 $m \; | \; (a-b)$ (즉, 적당한 정수 $k$ 에 대하여 $a-b=km$) 일 때, $a \equiv b \; ({\rm mod} \;m)$ 이라고 쓴다. 합동식의 기본성질 양의 정수 $m, \; n, \; k$ 와 임의의 정수 $a, \; b, \; c, \; d$ 에 대하여 다음이 성립한다. (1) $a \equiv a \; ({\rm mod}\; m)$ $a-a=0$ 이고, $m \cdot 0 =0$ 이므로 $m\; | \; 0$ 이다. 따라서 $a \equiv a \; ({\rm mod} \; m)$ 이다. (2) $a \equiv b\; ({\rm mod}\; m)$ 이면 $b \equiv a \; ({\rm mod} \; m)$ 이다. ..

구면 코사인 법칙 그림과 같이 중심이 $\rm O$ 인 구면 위의 세 점 $\rm A, \; B\; C$ 에 대하여 부채꼴 $\rm OBC$ 의 중심각의 크기를 $a$, 부채꼴 $\rm OAC$ 의 중심각의 크기를 $b$, 부채꼴 $\rm OAB$ 의 중심각의 크기를 $a$ 라 하자. 또한 점 $\rm A$ 에서 호 $\rm AB$, $\rm AC$ 에 접하는 접선이 $\rm OB, \; OC$ 의 연장선과 만나는 점을 각각 $\rm B', \; C'$ 라고 하면 다음이 성립한다. $$\cos a = \cos c \cdot \cos b + \sin c \cdot \sin b \cdot \cos A$$

양의 정수 $n$ 에 대하여 집합 $A_n$ 을 $$A_n = \{(x_1, \; x_2, \; \cdots, \;x_n)\; |\; x_i \in \{1, \; 2, \; 3, \; 4\}, \; x_1 + x_2 + \cdots + x_n\; 은 \; 5의 \; 배수\}$$ 라 하고, $A_n$ 의 원소의 개수를 $a_n$ 이라 하자. 예를 들면, $$A_1 = \emptyset\; (공집합), \; \; A_2 = \{(1, \; 4), \;(2, \; 3), \; (3, \; 2), \; (4, \; 1)\}$$ 이므로 $a_1=0, \; a_2=4$ 이다. 또한 $(1, \; 1, \; 3) \in A_3$ 이다. 1) $a_3$ 의 값을 구하시오.2) $n \ge 2$ 일 때, $a_n$ 과 ..

가형 나형 20번, 21번, 28번, 29번, 30번 18번, 21번, 29번, 30번 주요 문제들만 풀이를 올리고 있습니다. 혹시 풀이를 알고 싶은 문제가 있다면 댓글에 남겨 주세요. 24시간 내로 풀이가 업로드 됩니다.

2016년 4월 교육청 모의고사 수리영역 4점 풀이 가형 나형 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 26 26 27 27 28 가형 28번과 동일 29 29 30 30

중국인의 나머지 정리에 대해서 찾아보면 수학적인 용어, 기호들을 남발하면서 설명을 하여 그 내용을 이해하기 어려운 경우가 대부분이다. 여기서는 간단한 예제로부터 중국인의 나머지 정리를 설명함으로써 수학에 자신 없는 분들의 이해를 돕고자 한다. 다음의 예는 중국의 5세기 문헌인 손자산경에 나오는 문제를 오늘날 대한민국의 학교 시험에 나올만한 문제로 각색한 것이다. 어떤 사람의 나이를 3으로 나누면 2가 남고, 5로 나누면 3이 남고, 7로 나누면 2가 남는다고 한다. 이 조건을 만족하는 사람 중 가장 어린 사람의 나이를 구하시오. 3으로 남으면 2가 남는 조건 와 의 공배수이면서 으로 나누면 가 남는 수 중 최소의 수를 찾아보자. 와 의 최소공배수가 이므로 와 의 공배수는 로 나타낼 수 있다. 이때, 으로..