에르미트 항등식 (Hermite's identity)

에르미트 항등식 (Hermite's identity)

임의의 실수 $x$ 와 임의의 자연수 $n$ 에 대하여 다음의 식이 항상 성립한다.

$$\sum \limits_{k=0}^{n-1} \left [ x+ \dfrac{k}{n} \right ] = [nx]$$

위의 항등식을 에르미트 항등식 (Hermite's identity)라고 한다.

예제 1) 

실수 $x$  에 대하여 다음 식이 성립할 때, $[100x]$ 의 값을 구하시오. (단, $[x]$ 는 $x$ 를 넘지 않는 최대의 정수)

$$\left [ x+ \dfrac{19}{100} \right ] + \left [ x+ \dfrac{20}{100} \right ] + \cdots + \left [ x + \dfrac{91}{100} \right ] = 546$$

정답 $743$

예제 2)

$x$ 에 대한 방정식 $$x[x]+183=[x] + \left [ x + \dfrac{1}{n} \right ] + \left [ x+ \dfrac{2}{n} \right ] + \cdots + \left [ x + \dfrac{n-1}{n} \right ] + \left [ x^2 \right ]$$ 의 실근의 개수를 $f(n)$ 이라 할 때, $f(1)+f(2)+f(3)$ 의 값을 구하시오. (단, $n$ 은 자연수, $[x]$ 는 $x$ 를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

정답 $138$