함수의 그래프와 미분&함수의 좌극한과 우극한_난이도 상 (2022년 수능예비평가 미적분 30번)

두 양수 $a, \; b\; (b<1)$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x) = \begin{cases}-x^2+ax & (x \le 0) \\[10pt] \dfrac{\ln (x+b)}{x} & (x>0)\end{cases}$$ 이라 하자. 양수 $m$ 에 대하여 직선 $y=mx$ 와 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수를 $g(m)$ 이라 할 때, 함수 $g(m)$ 은 다음 조건을 만족시킨다.

$\lim \limits_{m \to \alpha -}g(m) - \lim \limits_{m \to \alpha +} g(m)=1$ 을 만족시키는 양수 $\alpha$ 가 오직 하나 존재하고, 이 $\alpha$ 에 대하여 점 $(b, \; f(b))$ 는 직선 $y=\alpha x$ 와 곡선 $y=f(x)$ 의 교점이다.

$ab^2 = \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이고, $\lim \limits_{x \to \infty} f(x)=0$ 이다.)

정답 $5$

$y= \dfrac{\ln (x+b)}{x}$ 의 그래프

아래 그래프에서 점 $\rm C$ 가 나타내는 자취가 $y=\dfrac{\ln (x+b)}{x}$ 의 그래프가 된다