수악중독

양수 $t$ 에 대하여 $\log t$ 의 지표와 가수를 각각 $f(t), \; g(t)$ 라 하자. 자연수 $n$ 에 대하여 $f(t)=9n \left \{ g(t)-\dfrac{1}{3} \right \}^2 -n$ 을 만족시키는 서로 다른 모든 $f(t)$ 의 합을 $a_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{n^2}$ 의 값은? ① $4$ ② $\dfrac{9}{2}$ ③ $5$ ④ $\dfrac{11}{2}$ ⑤ $6$ 정답 ①

자연수 $n$ 에 대하여 $\log n$ 의 정수부분을 $f(n)$, 소수부분을 $g(n)$ 이라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 두 자연수 $k, \; m$ 의 순서쌍 $(k, \;m )$ 의 개수를 구하시오. (가) $1 \le k < m \le 200$(나) $\dfrac{f(k)-f(2)}{g(k)-g(2)} = \dfrac{f(m)-f(2)}{g(m)-g(2)}$ 정답 $30$

다음 조건을 만족시키는 $1000$ 이하의 모든 자연수 $n$ 의 값의 합을 구하시오. (가) $\log_2 \dfrac{n}{3}$ 은 정수이다.(나) $9n$ 의 세제곱근 중 하나는 자연수이다. 정답 $219$

첫째항이 $2$ 이고 공비가 $\dfrac{5}{4}$ 인 등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $f(n)$ 을 다음과 같이 정의하자. $$f(n) = \left \{ \begin{array}{ll}0&\left ( \left [ \log_2 a_{n+1} \right ] = \left [ \log_2 a_n \right ] \right ) \\ 1&\left ( \left [ \log_2 a_{n+1} \right ] \ne \left [ \log_2 a_n \right ] \right ) \end{array} \right .$$ $f(1)+f(2)+f(3)+ \cdots + f(100)$ 의 값을 구하시오. (단, $[x]$ 는 $x$ 보다 크지 않은 최대의 정수이고, $\log 2 = 0.3$ 으로..

자연수 $m$ 에 대하여 집합 $A_m$ 을 $$A_m = \left \{ (a, \; b) \; \middle | \;2^a = \dfrac{m}{b}, \; a, \; b\text{는 자연수} \right \}$$라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?ㄱ. $A_4 = \{(1, \; 2), \; (2, \; 1) \}$ㄴ. 자연수 $k$ 에 대하여 $m=2^k$ 이면 $n(A_m)=k$ 이다.ㄷ. $n(A_m)=1$ 이 되도록 하는 두 자리 자연수 $m$ 의 개수는 $23$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

자연수 $n$ 에 대하여 $\log n$ 의 정수부분을 $f(n)$, 소수부분을 $g(n)$ 이라 하자. $10$ 이하의 자연수 $x$ 와 $100$ 이하의 자연수 $y$ 에 대하여 두 등식 $$2 f(x)-f(y)=0, \;\; 2g(x)-g(y)=0$$ 을 모두 만족시키는 순서쌍 $(x, \; y)$ 의 개수를 구하시오. 정답 $4$

다음 조건을 만족시키는 $20$ 이하의 모든 자연수 $n$ 의 값의 합을 구하시오. $\log_2 \left ( na-a^2 \right ) $ 과 $ \log _2 \left (nb-b^2 \right )$ 은 같은 자연수이고, $0

어떤 지역의 먼지농도에 따른 대기오염 정도는 여과지에 공기를 여과시켜 헤이즈계수를 계산하여 판별한다. 과화학적 밀도가 일정하도록 여과지 상의 빛을 분산시키는 고형물의 양을 헤이즈계수 $H$, 여과지 이동거리를 $L(m)\;(L>0)$, 여과지를 통과하는 빛전달률을 $S(0