수악중독

두 자연수 $a,\; b$ 에 대하여 $$a^2b+2ab+a^2+2a+b+1$$ 의 값이 $245$ 일 때, $a+b$ 의 값은? ① $9$ ② $10$ ③ $11$ ④ $12$ ⑤ $13$ 정답 ②차수가 낮은 $b$ 에 대한 내림차순으로 정리해 주면 $$ \left (a^2 +2a+1 \right ) b+ \left ( a^2+2a+1 \right )=245$$ $$ \left (a^2 +2a+1 \right ) (b+1) = 245 $$ $$ (a+1)^2(b+1)=7^2 \cdot 5$$$a, \;b$ 는 자연수 이므로 $a=6, \; b=4$$\therefore a+b=10$