수악중독

원점 \(\rm O\) 를 지나고 기울기가 \(\tan \theta\) 인 직선 \(l\) 이 있다. 두 점 \(\rm A (0,\;2),\;\; \rm B \left ( 2\sqrt{3}, \; 0 \right )\) 에서 직선 \(l\) 네 내린 수선의 발을 각각 \(\rm A', \;\; \rm B'\) 이라 하자. 원점 \(\rm O\) 로부터 점 \(\rm A'\) 까지의 거리와 점 \(\rm B'\) 까지의 거리의 합 \(\overline{\rm OA'} + \overline{\rm OB'} \) 이 최대가 되는 \(\theta\) 의 값은? \( \left ( 단, 0< \theta < \dfrac{\pi}{2} 이다. \right )\) ① \(\dfrac{\pi}{12}\) ② \(\df..

\(y=2 \cos ^2 x+(\sin x + \cos x)^2 + \sin 2x \cos 2x\) 의 최솟값은? (단, \(0 \leq x \leq \pi\)) ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(6\) 정답 ①

연속함수 \(y=f(x)\) 의 그래프가 원점에 대하여 대칭이고, 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \[ f(x)=\dfrac{\pi}{2} \displaystyle \int _1 ^{x+1} f(t) dt \] 이다. \(f(1)=1\) 일 때, \[ \pi ^2 \displaystyle \int _0^1 xf(x+1) dx\] 의 값은? ① \(2(\pi-2)\) ② \(2\pi -3\) ③ \(2(\pi-1)\) ④ \(2\pi -1\) ⑤ \(2\pi\) 정답 ①

이차함수 \(f(x)\) 에 대하여 함수 \(g(x)=f(x)e^{-x}\) 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 \(\left ( 1,\; g(1) \right )\) 과 점 \( \left ( 4,\; g(4) \right )\) 는 곡선 \(y=g(x)\) 의 변곡점이다. (나) 점 \((0, \;k)\) 에서 곡선 \(y=g(x)\) 에 그은 접선의 개수가 \(3\) 인 \(k\) 의 값의 범위는 \(-1

이차함수 \(f(x)=x^2 -ax\) 와 실수 \(t\) 에 대하여 좌표평면에서 중심이 \(\left ( t,\; f(t) \right )\) 이고 반지름의 길이가 \(r\) 인 원이 있다. 이 원 위의 점 \(\rm Q\) 에 대하여 선분 \(\rm OQ\) 의 길이의 최솟값을 \(g(t)\) 라 하자. \(g(t)\)가 두 점에서만 미분가능하지 않을 때, \(a^2 + 4r^2\) 의 값을 구하시오. (단, \(a\) 와 \(r\) 은 양의 상수이고, \(\rm O\) 는 원점이다.) 정답 \(35\)

곡선 \(y=x(x+1)^4\) 에서 \(x\) 좌표가 \(t \; (t>0)\) 인 점을 \(\rm A\) 라 하자. 점 \(\rm B\) 가 곡선 \(y=\dfrac{4}{x}\; (x

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 \[f(1)=2,\;\;f(e+1)=4e+4,\;\; \displaystyle \int _1^e \dfrac{f(x+ \ln x)}{(x+1)^2} dx = 10\] 을 만족시킬 때, \(\displaystyle \int _1^e \dfrac{f'(x + \ln x)}{x} dx\) 의 값은? ① \(-7\) ② \(-1\) ③ \(5\) ④ \(13\) ⑤ \(17\) 정답 ④

\(-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2} \) 에서 정의된 함수 \(f(x)\) 와 도함수 \(f'(x)\) 가 \[f(0)=0, \; f'(x)=1+\{ f(x) \}^2 \] 을 만족시킨다. 함수 \(f(x)\) 의 역함수를 \(g(x)\) 라 할 때, \(g'(1) \times g(1)\) 의 값은? ① \(\dfrac{\pi}{10}\) ② \(\dfrac{\pi}{8}\) ③ \(\dfrac{\pi}{6}\) ④ \(\dfrac{\pi}{4}\) ⑤ \(\dfrac{\pi}{2}\) 정답 ②

수직선 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 의 시각 \(t\) 에서의 위치를 \(f(t)\) 라 할 때, 미분가능한 함수 \(y=f(t)\) 는 다음 조건을 모두 만족시킨다. (가) \(f(0)=\dfrac{3}{2}, \; f(1)=1,\;f(3)=4\) (나) \(0

함수 \(f(x)=kx^2 e^{-x} \;\;(k>0)\) 과 실수 \(t\) 에 대하여 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \( \left ( t,\; f(t) \right )\) 에서 \(x\) 축까지의 거리와 \(y\) 축까지의 거리 중 커지 않은 값을 \(g(t)\) 라 하자. 함수 \(g(t)\) 가 한 점에서만 미분가능하지 않도록 하는 \(k\) 의 최댓값은? ① \(\dfrac{1}{e}\) ② \(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\) ③ \(\dfrac{e}{2}\) ④ \(\sqrt{e}\) ⑤ \(e\) 정답 ⑤